Number Theory

Download PDF by Hanspeter Kraft, Peter Slodowy (auth.), Hanspeter Kraft,: Algebraische Transformationsgruppen und Invariantentheorie

By Hanspeter Kraft, Peter Slodowy (auth.), Hanspeter Kraft, Peter Slodowy, Tonny A. Springer (eds.)

Der. vorliegende Band enthält eine Reihe von einführenden Vorlesungen, die von verschiedenen Autoren im Rahmen von zwei DMV-Seminaren zum Thema "Algebraische Transjormationsgruppen und Invariantentheorie" gehalten wur­ den. Entsprechend der allgemeinen Zielsetzung der DMV-Seminare sollten sowohl grundlegende Techniken und Resultate vorgestellt als auch Einblicke in aktuelle Entwickl~ngen gegeben werden. was once die Grundlagen anbetrifft, so haben wir sie hier nicht in vollem Umfang widergegeben. Im Bedarfsfall magazine der Leser unsere Bücher "Geometrische Methoden in der Invariantentheorie"l und "Invariant Theory"2 zu expense ziehen, auf die sich die einführenden Vorträge stützten. Leider konnten auch nicht alle aktuellen Entwicklungen berücksichtigt werden, über die im Seminar berichtet wurde. Die Ziele der hier vorliegenden Beiträge, auf deren Inhalt wir in der Einführung ausführlicher eingehen werden, sind entsprechend unterschiedlicher Natur. Einige liefern Darstellungen bereits publizierter Theorien, wobei sie allerdings ein größeres Gewicht auf Motivation und die Ausführung von Beispie­ len legen, als dies in den Originalarbeiten möglich battle. Andere leiten grundle­ gende Resultate auf neue "reise her oder stellen sie aus anderer Sicht dar. Schließlich werden auch noch einzelne Einblicke in aktuelle Forschungsrichtun­ gen gegeben. Wir hoffen, daß durch diesen Band zahlreiche Resultate der Theorie der algebraischen Transformationsgruppen leichter zugänglich geworden sind, und daß der Leser mit ihm eine nützliche foundation für die Lektüre aktueller Forschungsarbeiten erhält.

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Wir ersetzen X durch das Komplement der Vereinigung aller prl(F). Dann haben wir erreicht, daß (Z, 7r) die Eigenschaften (a) und (b) des geometrischen Quotienten besitzt. Indem wir schließlich noch X ersetzen durch das inverse Bild einer geeigneten offenen Teilvariatät von Z, erreichen wir auch noch, daß 7r surjektiv ist. 3. 8 (in etwas allgemeinerer Fassung) nachholen. Korollar. Es sei G eine lineare algebraische Gruppe und X eine irreduzible affine G- Varietät. Man setze voraus: (a) k[X]G ist von endlichem Typ, und (b) k(X)G ist der Quotientenkörper von k[X]G.

2. Erstes Fundamentaltheorem ltir SL n • Die Invarianten auf VP EB v*q unter SL(V) werden von den Skalarprodukten (i,j) und den Determinanten [i l ... in] und [j1 .. jn]* erzeugt: k[VP EB V*q]SL(V) = k[(i,j), [i l ... in], [j1 .. jn]*]. Der Beweis dieses Resultates ergibt sich aus den Sätzen von CAPELLI und WEYL; wir werden später darauf zurückkommen (§ 7). Einzelne Spezialfälle sind wiederum klar. So hat etwa SL(V) auf VP keine Invarianten, falls p < n := dim V gilt, denn in diesem Falle hat SL(V) eine Zariski-dichte Bahn in VP und jede Invariante ist deshalb eine Konstante (vgl.

H. sie sind Vektoren des Dualraumes. Man redet von Invarianten von Vektoren und Kovektoren. Ein typisches Beispiel ist etwa das Skalarprodukt (x,e) ~ (x,e) := L:~=l Xiei. e e, * Nach der Brandeis-Vorlesungsausarbeitung "A Prim er in Invariant Theory" von Claudio Procesi 42 Hanspeter Kraft: Klassische Invariantentheorie Die Invarianten von Matrizen bilden einen weiteren wichtigen Gegenstand der klassischen Invariantentheorie. Hier ist f ein Polynom in einer oder mehreren Matrizenvariablen x = (Xij)i,j=l, ...

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