Number Theory

New PDF release: Algebraische Zahlentheorie

By Jürgen Neukirch

Die algebraische Zahlentheorie ist eine der traditionsreichsten und gleichzeitig heute besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. In dem vorliegenden Buch wird sie in einem ausführlichen und weitgefaßten Rahmen abgehandelt, der sowohl die Grundlagen als auch ihre Höhepunkte enthält. Die Darstellung führt den Studenten in konkreter Weise in das Gebiet ein, läßt sich dabei von modernen Erkenntnissen übergeordneter Natur leiten und ist in vielen Teilen neu. Der grundlegende erste Teil ist mit einigen neuen Aspekten versehen, wie etwa der "Minkowski-Theorie" und einer ausführlichen Theorie der Ordnungen. Über die Grundlagen hinaus enthält das Buch eine geometrische Neubegründung der Theorie der algebraischen Zahlkörper durch die Entwicklung einer "Riemann-Roch-Theorie" vom "Arakelovschen Standpunkt", die bis zu einem "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" führt, ferner eine moderne Darstellung der Klasssenkörpertheorie und schließlich eine neue Theorie der Theta-Reihen und L-Reihen, die die klassischen Arbeiten von Hecke in eine faßliche shape setzt. Das Buch ist an Studenten nach dem Vorexamen gerichtet, darüber hinaus wird es sehr bald dem Forscher als weiterweisendes Handbuch unentbehrlich sein.

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In M x S consider the equivalence relation ( m , s) -- (m', s') 3 s" E S such that sl'(s'm - - sm') =0. Show that the setM s of equivalence classes ( m , s ) forms an A-module, and that M -+ M s ,a H (a, I ) , is a homomorphism. In particular, As is a ring. It is called the localization of A with respect to S. Chapter I. Algebraic Integers 72 Exercise 2. Show that, in the above situation, the prime ideals of As correspond 1-1 to the prime ideals of A which are disjoint from S. If p 5 A and ps As correspond in this way, then As/ps is the localization of Alp with respect to the image of S.

The theoretical significance of orders, however, lies in the fact that they admit "singularities", which are excluded as long as only Dedekind domains with their "regular" localizations opare considered. We will explain what this means in the next section. In the preceding section we studied the localizations of a Dedekind domain O K . They are extension rings of O K which are integrally closed. yet no longer integral over Z. Now we study orders. They are subrings of O K which are integral over Z, yet no longer integrally closed.

Let L IK be separable. , d O E M = owl . . ow,. We have d # 0, because expanding the determinant d = det((a;,) - I ) we find d = (-I), mod p because aij E p. It follows that L = d L = Kwl . . Kw,,. wl , . . , wm is therefore indeed a basis of L ( K . In order to prove the second identity, let us consider the descending chain 0 = BA(al, . . , a,)' = ( d a l , . . , da,)', + + + + Proof: The proof is based on the Chinese remainder theorem of K-vector spaces. J3y/yY+' in this chain are isomorphic to O/Y;, for if a!

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