German 15

Analyse empirischer und experimenteller Daten: Ein kompakter by Siegmund Brandt PDF

By Siegmund Brandt

Diese kompakte Einführung enthält die wichtigsten Grundlagen der mathematischen Statistik, die Beschreibung von Messungen und deren Fehler als Ergebnisse von Stichproben und die Methode der kleinsten Quadrate, angewandt auf verschieden schwierige konkrete Beispiele. Zusätzlich werden kurze Hinweise auf weitere Verfahren der Datenanalyse gegeben.

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R. Das führt zu 2AT Gy (c + Ax) = 0 . Für r ≤ n kann dieses Gleichungssystem aufgelöst werden. Die Lösung x = −(AT Gy A)−1 AT Gy c liefert Schätzungen xi für die zunächst unbekannten Parameter xi . Nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung ergibt sich für deren Kovarianzmatrix Cx = (AT Gy A)−1 . Auch für die wahren Werte η ergeben sich Schätzungen, η = A(AT Gy A)−1 AT Gy c − a0 , die als verbesserte oder ausgeglichene Messungen bezeichnet werden. Sie haben die Kovarianzmatrix C η = A C x AT . 2 Beispiel: Anpassung einer Geraden Tab.

XN ist die Likelihood dann proportional zu dem Produkt L = f (x1 , λ)f (x2 , λ) · · · f (xN , λ). Der Parameter λ wird nun so bestimmt, dass die Likelihood-Funktion L (oder – gleichbedeutend – ihr Logarithmus = ln L) maximal wird. Das Verfahren kann leicht auf mehrere Messgrößen und Parameter ausgedehnt werden, vgl. [DA], Kap. 7. Im Rechner wird statt des Maximums von das Minimum von − bestimmt. In [DA], Kap. 10, werden Algorithmen der Minimierung an Hand von Beispielen beschrieben. 2 Bestimmung unsymmetrische Fehler Messfehler sind nicht immer symmetrisch.

2 Beispiel: Anpassung einer Geraden Tab. 2 Beispiel: Anpassung einer Geraden Wir betrachten die Anpassung einer Geraden an eine Anzahl von Messungen yj bei verschiedenen Werten tj einer als fehlerfrei angenommenen sogenannten kontrollierten Variablen t. Für die ηj ergeben sich die einfachen Gleichungen ηj = yj − εj = x1 + x2 tj . Dabei sind x1 der Achsenabschnitt und x2 die Steigung der Geraden, die wir zu einem Vektor x zusammenfassen. Die Daten unseres Beispiel sind in Tab. 1 zusammengefasst.

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