Analysis

New PDF release: Analysis für Physiker und Ingenieure: Funktionentheorie,

By Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

Aus den Besprechungen: "Dies ist ein Lehrbuch, wie ich es mir als pupil gew?nscht h?tte: Nahezu jeder Begriff wird vor seiner Einf?hrung ausf?hrlich motiviert, guy findet eine Unmenge (461 St?ck!) von hervorragenden Figuren, jedes Kapitel enth?lt sowohl eine Einleitung, in der skizziert wird, 'wohin der Hase laufen soll', als auch eine R?ckschau mit den wichtigsten Ergebnissen. guy findet reichlich ?bungen (mit L?sungshinweisen) sowie a number of selection assessments (mit L?sungen) am Ende jeden Kapitels. Der Stil ist locker und unterhaltsam und unterscheidet sich wohltuend von den ?blichen trockenen Mathematik-Lehrb?chern. Ein hervorragendes Lehrbuch, dessen Lekt?re nicht nur f?r Physiker und Ingenieure n?tzlich, sondern auch f?r Mathematikstudenten eine willkommene Erg?nzung zum 't?glichen Brot' sein d?rfte". #Zentralblatt f?r Mathematik 1#

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Der Koeffizient a_ 1 heißt das Residuum: Wenn er nicht verschwindet, hat die Laureutreihe keine Stammfunktion. Test 2 47 Test 2 (1) Der Definitionsbereich einer analytischen Funktion ist definitionsgemäß stets 0 0 die komplexe Ebene C 0 ein Gebiet (2) Die Jacobi-Matrix einer analytischen Funktion w(z) = u(z) (3) Ist die komplexe Konjugation 0 0 0 ein offenes Intervall (a,b) + iv(z) heißt z -+ zeine konforme Abbildung der Ebene auf sich? Ja, denn sie ist bijektiv und winkeltreu Nein, denn sie ist zwar bijektiv, aber winkelumkehrend Nein, denn sie ist zwar winkeltreu, aber wegen z = z nicht bijektiv (4) Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen kann man (gleichbedeutend) auch 0 so schreiben: Llu 0 = Llv = 0 u(x, y) = - v(y, x) 0 ßu ßv ox ßy au av =-+-=0 ßy ox (5) Hat die Potenzreihe falls auf ganz 0 CO n=O {z II z - Zo I < P} (6) Es habe 0 0 {zllzl < P} {z llz I< P + Zo} CO CO n=O n=O L anzn den Konvergenzradius 2.

F: G --+ Gist konform, wenn es analytisch und bijektiv ist und überall f' (z) =1= 0 gilt; drei im allgemeinen leicht nachzuprüfende Eigenschaften, z. B. ist zn als Abbildung des Sektors - ~ < rp < ~ auf die geschlitzte Ebene ersichtlich konform. G, saro, - ~ < rp < ~ Figur 52. ll11 ljI/I//; // Ö, geschlitzte Ebene * 0 (auf G) und bijektiv Ist dann aber auchj- 1 : G--+ G, in unserem Beispiel also der Hauptzweig der n-ten Wurzel, wieder konform? Bijektiv jedenfalls, man muß sich also nur davon überzeugen, daß J- 1 lokal konform ist.

III: Komplexe Integration Vorher: ' Yt S fdz Nachher: Dasselbe Integral als $Jdz über einen geschlossenen Weg +J'2+l'3 y Figur 87 § 2 Geschlossene Integrationswege: ft(z)dz Ein (stückweise stetig differenzierbarer) Weg y: [a, b] sen, wenn y(a) = y(b) ist. y(a) -+ G heißt natürlich dann geschlos- = y(b): "geschlossen" Figur 88 Für die Integration längs geschlossener Wege benutzt man gerne das schöne Symbol f, wenn es vielleicht auch ein bißeben überflüssig ist. Es kommt in dreierlei Bedeutung vor: J (1) ft(z)dz bedeutet einfach f(z)dz und die Tatsache, daß y geschlossen ist.

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