Number Theory

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By Philip Straffin (editor)

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Schon ganz zu Beginn unserer Expedition erkennen wir das Wesen der Mathematik: Gerade eben gewonnene Erkenntnisse werfen meist sofort neue Fragen auf, der Kosmos der Mathematik ist unendlich. Und es ist die forschende Neugier der Wissenschaftler, die zu immer weiteren Ergebnissen und neuen Fragen führt. Wir erleben hier auch ein weiteres Merkmal der mathematischen Arbeitsweise: So sehr Sie sich auch bemühen, mit unseren derzeitigen Mitteln können wir die oben gestellten Fragen nicht beantworten.

Es ist also alles ganz einfach, oder? Ein Paar (a, b) ist äquivalent zu (c, d), wenn a − b = c − d ist. Aber Vorsicht! Beim strengen Aufbau der Zahlen haben wir noch gar nicht genau gesagt, was „−“ eigentlich bedeutet. Wir haben die Subtraktion bei den natürlichen Zahlen lediglich als gefährliche Operation erkannt, die sich offenbar an keine Gesetze hält. Bei einem formal sauberen Vorgehen dürfen wir sie noch gar nicht verwenden. Aber es gibt hier einen schnellen Ausweg: Statt a − b = c − d können wir a + d = b + c schreiben und alles ist wieder im Lot.

Wir haben Zahlen gefunden, die sich der anschaulichen Vorstellung entziehen. “ Das klingt verdächtig nach Antimaterie, das Kind wird Sie fragend anschauen. Ich erwähne das nur, weil mit den ganzen Zahlen der Moment gekommen ist, ab dem wir es in der Mathematik mit gedanklichen Objekten zu tun haben, die keine materielle Entsprechung mehr haben. Umso wichtiger ist es dann, diese Objekte genau zu kennen und deren Verhalten präzise zu beweisen. Die Rätselhaftigkeit der negativen Zahlen wird auch durch folgende historische Tatsache belegt.

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